.com - Penggunaan Konsep Turunan dalam Deret Aritmatika. Pada pembahasan sebelumnya, edutafsi telah memaparkan bahwa persamaan rumus jumlah n suku pertama (Sn) sanggup dinyatakan dalam bentuk fungsi kuadrat dalam variabel n. Sebelumnya juga sudah dibahas bahwa rumus suku ke-n dan beda barisan sanggup ditentukan menurut rumus jumlah n suku pertamanya. Nah, kalau rumus jumlah n suku pertama tersebut dinyatakan dalam bentuk fungsi kuadrat, ternyata kita sanggup memanfaatkan konsep turunan untuk menentukan rumus suku ke-n dan beda barisan tersebut. Pada pembahasan ini, edutafsi akan membahas bagaimana cara menentukan rumus suku ke-n dan beda barisan aritmatika dengan konsep turunan kalau rumus Sn dintakan sebagai fungsi kuadrat.
Dengan memakai konsep turuan (differensial), kita sanggup menentukan rumus suku ke-n dan beda barisan aritmatika dengan beberapa langkah simpel dengan catatan, rumus jumlah n suku pertamanya dinyatakan dalam bentuk fungsi kuadrat (Sn = An2 + Bn). Sebelum membahas bagaimana caranya, ada baiknya kita mengingat kembali bagaimana prinsip atau konsep turunan fungsi.
Turunan atau differensial merupakan salah satu proses menurunkan suatu fungsi terhadap variabel tertentu. Misalkan y yaitu sebuah fungsi daalam variabel x atau y = f(x), dan y merupakan fungsi yang sanggup diturunkan pada setiap titik, maka turunan pertama fungsi y terhadap x umumnya ditulis sebagai dy/dx atau y' atau f '(x).
Turunan pertama dari sebuah fungsi f(x) terhadap x sanggup ditulis sebagai :
⇒ f '(x) = dy/dx = df(x)/dx
Misal sebuah fungsi dinyatakan dalam bentuk f(x) = axn + bx, maka turunan pertama dari fungsi tersebut sanggup ditulis sebagai diberikut :
⇒ f '(x) = df(x)/dx = d(axn + bx)/dx
⇒ f '(x) = n.axn-1 + b
Contoh :
Tentukan turunan pertama dari fungsi diberikut ini :
a). f(x) = 4x3 + 5x
b). y = 2x2 - 9x
c). Sn = An2 + Bn
Pembahasan :
a). f '(x) = 3.4 x3-1 + 5 = 12 x2 + 5
b). y' = 2.2 x2-1 - 9 = 4x - 9
c). Sn' = 2.An2-1 + B = 2 An + B.
Rumus Sn sanggup dinyatakan dalam bentuk fungsi kuadrat sebagai diberikut :
⇒ Sn = F(n) = An2 + Bn
Turunan pertama dari fungsi tersebut yaitu :
⇒ Sn' = 2 An + B
Turunan kedua dari fungsi tersebut yaitu :
⇒ Sn'' = 2A
Maka, rumus suku ke-n deret tersebut yaitu :
⇒ Un = Sn' - ½Sn''
⇒ Un = 2 An + B - ½(2A)
⇒ Un = 2 An + (B - A)
Jadi, ada dua rumus yang sanggup digunakan, yaitu :
Dengan Un menyatakan rumus suku ke-n barisan aritmatika, n menyatakan banyak suku (sebagai variabel), A dan B merupakan bilangan tertentu yang sanggup dilihat melalui persamaan dalam soal. Untuk memahami pemakaian rumus tersebut, perhatikan rujukan diberikut ini.
Contoh :
Jika jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika dinyatakan oleh Sn = 5n2 + 2n, maka tentukanlah rumus suku ke-n deret tersebut.
Pembahasan :
Dik : Sn = 5n2 + 2n
Dit : Un = ... ?
Cara Pertama :
⇒ Un = Sn' - ½Sn''
⇒ Un = (10n + 2) - ½(10)
⇒ Un = 10n + 2 - 5
⇒ Un = 10n - 3
Cara Kedua :
Dari fungsi Sn = 5n2 + 2n, diketahui A = 5, B = 2 (Perhatikan bentuk Sn = An2 + Bn).
⇒ Un = 2 An + (B - A)
⇒ Un = 2.5n + (2 - 5)
⇒ Un = 10n - 3
Jadi, rumus suku ke-n barisan aritmatika tersebut yaitu Un = 10n - 3. Bandingkan hasil pada cara pertama dan cara kedua.
Rumus Sn sanggup dinyatakan dalam bentuk fungsi kuadrat sebagai diberikut :
⇒ Sn = F(n) = An2 + Bn
Turunan pertama dari fungsi tersebut yaitu :
⇒ Sn' = 2 An + B
Turunan kedua dari fungsi tersebut yaitu :
⇒ Sn'' = 2A
Maka, beda barisan sanggup ditentukan dengan rumus :
⇒ b = Sn''
⇒ b = 2 A
Jadi, ada dua rumus yang sanggup digunakan, yaitu :
Dengan b menyatakan beda barisan aritmatika, Sn'' menyatakan turunan kedua dari Sn, dan A merupakan bilangan tertentu yang sanggup dilihat melalui persamaan dalam soal. Untuk memahami pemakaian rumus tersebut, perhatikan rujukan diberikut ini.
Contoh :
Jika jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika dinyatakan oleh Sn = 3n2 + 5n, maka tentukanlah beda barisan tersebut.
Pembahasan :
Dik : Sn = 3n2 + 5n
Dit : b = ... ?
Cara Pertama :
Turunan pertama Sn :
⇒ Sn' = 6n + 5
Turunan kedua Sn :
⇒ Sn'' = 6
Beda barisan tersebut yaitu :
⇒ b = Sn''
⇒ b = 6
Cara Kedua :
Dari fungsi Sn = 3n2 + 5n, diketahui A = 3 dan B = 5
⇒ b = 2A
⇒ b = 2(3)
⇒ b = 6
Jadi, beda barisan tersebut yaitu 6. Bandingkan hasil yang diperoleh melalui cara pertama dan cara kedua. Anda sanggup menentukan salah satu cara yang paling anda anggap simpel sesuai dengan pemahaman anda.
Demikianlah pembahasan singkat mengenai cara menentukan suku ke-n dan beda deret aritmatika kalau rumus Sn dinyatakan dalam bentuk fungsi kuadrat dengan memakai konsep turunan. Jika materi mencar ilmu ini berkhasiat, bantu kami membagikannya kepada teman anda melalui tombol share di bawah ini.
Dengan memakai konsep turuan (differensial), kita sanggup menentukan rumus suku ke-n dan beda barisan aritmatika dengan beberapa langkah simpel dengan catatan, rumus jumlah n suku pertamanya dinyatakan dalam bentuk fungsi kuadrat (Sn = An2 + Bn). Sebelum membahas bagaimana caranya, ada baiknya kita mengingat kembali bagaimana prinsip atau konsep turunan fungsi.
Turunan atau differensial merupakan salah satu proses menurunkan suatu fungsi terhadap variabel tertentu. Misalkan y yaitu sebuah fungsi daalam variabel x atau y = f(x), dan y merupakan fungsi yang sanggup diturunkan pada setiap titik, maka turunan pertama fungsi y terhadap x umumnya ditulis sebagai dy/dx atau y' atau f '(x).
Turunan pertama dari sebuah fungsi f(x) terhadap x sanggup ditulis sebagai :
⇒ f '(x) = dy/dx = df(x)/dx
Misal sebuah fungsi dinyatakan dalam bentuk f(x) = axn + bx, maka turunan pertama dari fungsi tersebut sanggup ditulis sebagai diberikut :
⇒ f '(x) = df(x)/dx = d(axn + bx)/dx
⇒ f '(x) = n.axn-1 + b
Contoh :
Tentukan turunan pertama dari fungsi diberikut ini :
a). f(x) = 4x3 + 5x
b). y = 2x2 - 9x
c). Sn = An2 + Bn
Pembahasan :
a). f '(x) = 3.4 x3-1 + 5 = 12 x2 + 5
b). y' = 2.2 x2-1 - 9 = 4x - 9
c). Sn' = 2.An2-1 + B = 2 An + B.
A. Menentukan Un Jika Sn dinyatakan Dalam Fungsi Kuadrat
Jika rumus jumlah n suku pertama (Sn) dinyatakan dalam bentuk fungsi kuadrat dalam variabel n, maka rumus suku ke-n barisan tersebut merupakan turunan pertama Sn dikurang dengan setengah kali turunan kedua Sn.Rumus Sn sanggup dinyatakan dalam bentuk fungsi kuadrat sebagai diberikut :
⇒ Sn = F(n) = An2 + Bn
Turunan pertama dari fungsi tersebut yaitu :
⇒ Sn' = 2 An + B
Turunan kedua dari fungsi tersebut yaitu :
⇒ Sn'' = 2A
Maka, rumus suku ke-n deret tersebut yaitu :
⇒ Un = Sn' - ½Sn''
⇒ Un = 2 An + B - ½(2A)
⇒ Un = 2 An + (B - A)
Jadi, ada dua rumus yang sanggup digunakan, yaitu :
| Un = Sn' − ½Sn'' |
| Un = 2 An + (B - A) |
Dengan Un menyatakan rumus suku ke-n barisan aritmatika, n menyatakan banyak suku (sebagai variabel), A dan B merupakan bilangan tertentu yang sanggup dilihat melalui persamaan dalam soal. Untuk memahami pemakaian rumus tersebut, perhatikan rujukan diberikut ini.
Contoh :
Jika jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika dinyatakan oleh Sn = 5n2 + 2n, maka tentukanlah rumus suku ke-n deret tersebut.
Pembahasan :
Dik : Sn = 5n2 + 2n
Dit : Un = ... ?
Cara Pertama :
⇒ Un = Sn' - ½Sn''
⇒ Un = (10n + 2) - ½(10)
⇒ Un = 10n + 2 - 5
⇒ Un = 10n - 3
Cara Kedua :
Dari fungsi Sn = 5n2 + 2n, diketahui A = 5, B = 2 (Perhatikan bentuk Sn = An2 + Bn).
⇒ Un = 2 An + (B - A)
⇒ Un = 2.5n + (2 - 5)
⇒ Un = 10n - 3
Jadi, rumus suku ke-n barisan aritmatika tersebut yaitu Un = 10n - 3. Bandingkan hasil pada cara pertama dan cara kedua.
B. Menentukan Beda Barisan Dengan Konsep Turunan
Jika rumus jumlah n suku pertama (Sn) suatu deret aritmatika dinyatakan dalam bentuk fungsi kuadrat dalam variabel n, maka beda barisan atau beda deret aritmatika tersebut akan sama dengan turunan kedua Sn.Rumus Sn sanggup dinyatakan dalam bentuk fungsi kuadrat sebagai diberikut :
⇒ Sn = F(n) = An2 + Bn
Turunan pertama dari fungsi tersebut yaitu :
⇒ Sn' = 2 An + B
Turunan kedua dari fungsi tersebut yaitu :
⇒ Sn'' = 2A
Maka, beda barisan sanggup ditentukan dengan rumus :
⇒ b = Sn''
⇒ b = 2 A
Jadi, ada dua rumus yang sanggup digunakan, yaitu :
| b = Sn'' |
| b = 2 A |
Dengan b menyatakan beda barisan aritmatika, Sn'' menyatakan turunan kedua dari Sn, dan A merupakan bilangan tertentu yang sanggup dilihat melalui persamaan dalam soal. Untuk memahami pemakaian rumus tersebut, perhatikan rujukan diberikut ini.
Contoh :
Jika jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika dinyatakan oleh Sn = 3n2 + 5n, maka tentukanlah beda barisan tersebut.
Pembahasan :
Dik : Sn = 3n2 + 5n
Dit : b = ... ?
Cara Pertama :
Turunan pertama Sn :
⇒ Sn' = 6n + 5
Turunan kedua Sn :
⇒ Sn'' = 6
Beda barisan tersebut yaitu :
⇒ b = Sn''
⇒ b = 6
Cara Kedua :
Dari fungsi Sn = 3n2 + 5n, diketahui A = 3 dan B = 5
⇒ b = 2A
⇒ b = 2(3)
⇒ b = 6
Jadi, beda barisan tersebut yaitu 6. Bandingkan hasil yang diperoleh melalui cara pertama dan cara kedua. Anda sanggup menentukan salah satu cara yang paling anda anggap simpel sesuai dengan pemahaman anda.
Demikianlah pembahasan singkat mengenai cara menentukan suku ke-n dan beda deret aritmatika kalau rumus Sn dinyatakan dalam bentuk fungsi kuadrat dengan memakai konsep turunan. Jika materi mencar ilmu ini berkhasiat, bantu kami membagikannya kepada teman anda melalui tombol share di bawah ini.
Advertisement