Contoh Soal Dan Pembahasan Barisan Aritmatika Dengan Konsep Turunan

.com - Kumpulan soal dan pembahasan wacana cara memilih suku ke-n dan beda barisan aritmatika dengan memakai konsep turunan. Pada pembahasan wacana deret aritmatika, telah dijelaskan bahwa rumus jumlah n suku pertama sanggup diubah ke dalam bentuk fungsi kuadrat, dan dengan konsep turunan, kita sanggup memilih suku ke-n dan beda deret tersebut menurut fungsi kuadrat yang diketahui. Pada kesempatan ini, edutafsi akan membahas beberapa model soal yang bekerjasama dengan penggunaan konsep turunan dalam barisan atau deret aritmatika. Dengan model soal ini diperlukan sanggup membantu pelajar dan siswa untuk ludang kecepeh memahami konsep barisan dan deret aritmatika serta memperkaya model soal mereka.

Contoh 1 : Hubungan Sn dan Un

Secara umum, rumus jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika sanggup dinyatakan dalam bentuk fungsi kuadrat, yaitu Sn = An² + Bn. Berdasarkan rumus tersebut, maka rumus suku ke-n deret itu ialah ....
A. Un = 2An + (B - A)
B. Un = 2An + (A - B)
C. Un = 2An + (B + A)
D. Un = An + (B - A)
E. Un = An + (A - B)

Pembahasan :
Dik : Sn = An² + Bn
Dit : n = ....?

Hubungan antara rumus jumlah n suku pertama (Sn) dengan rumus suku ke-n (Un) suatu deret aritmatika ialah sebagai memberikankut :
⇒ Un = Sn' - ½Sn''

Turunan pertama Sn :
⇒ Sn' = 2.A n^2-1 + 1.B n^1-1
⇒ Sn' = 2An + B

Turunan kedua Sn :
⇒ Sn'' = 1.2A n^1-1  + 0
⇒ Sn'' = 2A

Rumus suku ke-n diperoleh :
⇒ Un = Sn' - ½Sn''
⇒ Un = 2An + B - ½(2A)
⇒ Un = 2An + B - A
⇒ Un = 2An + (B - A)

Jadi, rumus suku ke-n sanggup dinyatakan dengan Un = 2An + (B - A).

Jawaban : A

Contoh 2 : Menentukan Beda Barisan

Jika Sn = 5n² + 7n menyatakan rumus jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika, maka selisih antara setiap dua suku yang berdekatan dalam deret tersebut ialah ....
A. b = 13
B. b = 10
C. b = 7
D. b = 5
E. b = 3

Pembahasan :
Dik : Sn = 5n² + 7n
Dit : b = .... ?

Dengan memakai konsep turunan, kita sanggup memilih beda suatu deret menurut rumus jumlah n suku pertamanya. Beda deret aritmatika sama dengan turunan kedua dari Sn atau sanggup ditentukan dengan rumus :
⇒ b = Sn''

Turunan pertama Sn :
⇒ Sn' = 2.5 n^2-1 + 1.7 n^1-1
⇒ Sn' = 10n + 7

Turunan kedua Sn :
⇒ Sn'' = 1.10 n^1-1  + 0
⇒ Sn'' = 10

Dengan demikian, diperoleh beda :
⇒ b = Sn''
⇒ b = 10

Jadi, beda barisan aritmatika tersebut ialah 10.

Jawaban : B

Contoh 3 : Menentukan Suku ke-n Deret Aritmatika

Jumlah total sebuah deret aritmatika yang terdiri dari n suku dinyatakan dengan Sn = 2n² + 5n. Suku ketiga dan suku keenam deret tersebut berturut-turut ialah ....
A. 35 dan 25
B. 15 dan 25
C. 25 dan 15
D. 15 dan 45
E. 15 dan 30

Pembahasan :
Dik : Sn = 2n² + 5n
Dit : U₃ dan U₆ = .... ?

Turunan pertama Sn :
⇒ Sn' = 2.2 n^2-1 + 1.5 n^1-1
⇒ Sn' = 4n + 5

Turunan kedua Sn :
⇒ Sn'' = 1.4 n^1-1  + 0
⇒ Sn'' = 4

Rumus suku ke-n diperoleh :
⇒ Un = Sn' - ½Sn''
⇒ Un = 4n + 5 - ½(4)
⇒ Un = 4n + 5 - 2
⇒ Un = 4n + 3

Suku ketiga, substitusi n = 3 :
⇒ Un = 4n + 3
⇒ U₃ = 4.3 + 3
⇒ U₃ = 12 + 3
⇒ U₃ = 15

Suku ketiga, substitusi n = 3 :
⇒ Un = 4n + 3
⇒ U₆ = 4.6 + 3
⇒ U₆ = 24 + 3
⇒ U₆ = 25

Jadi, suku ketiga dan suku keenam deret teresebut ialah 15 dan 25.

Jawaban : B

Contoh 4 : Menentukan Jumlah Suku Pertama dan Beda

Jumlah n suku pertama deret aritmatika ialah Sn = 5n² + 7n. Jika a ialah suku pertama dan b ialah beda, maka evaluasi a + b sama dengan ....
A. a + b = 22
B. a + b = 20
C. a + b = 18
D. a + b = 16
E. a + b = 15

Pembahasan :
Dik : Sn = 5n² + 7n
Dit : a + b = ...?

Turunan pertama Sn :
⇒ Sn' = 2.5 n^2-1 + 1.7 n^1-1
⇒ Sn' = 10n + 7

Turunan kedua Sn :
⇒ Sn'' = 1.10 n^1-1  + 0
⇒ Sn'' = 10

Beda deret tersebut :
⇒ b = Sn''
⇒ b = 10

Suku pertama :
⇒ a = S1
⇒ a = 5(1)² + 7(1)
⇒ a = 5 + 7
⇒ a = 12

Dengan demikian, diperoleh penjumlahan :
⇒ a + b = 12 + 10
⇒ a + b = 22.

Jawaban : A

Contoh 5 : Menentukan Rumus Suku ke-n

Jika jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika dinyatakan dengan Sn = 4n² + 3n, maka rumus suku ke-n deret aritmatika tersebut ialah ....
A. Un = 8n - 1
B. Un = 8n - 2
C. Un = 8n + 1
D. Un = 8n + 2
E. Un = 10n - 1

Pembahasan :
Dik : Sn = 4n² + 3n
Dit : Un = .... ?

Berdasarkan konsep deret aritmatika dan penggunaan turunan, hubungan antara jumlah n suku pertama dan suku ke-n suatu deret ialah sebagai memberikankut :
⇒ Un = Sn' - ½Sn''

Turunan pertama Sn :
⇒ Sn' = 2.4 n^2-1 + 1.3 n^1-1
⇒ Sn' = 8n + 3

Turunan kedua Sn :
⇒ Sn'' = 1.8 n^1-1  + 0
⇒ Sn'' = 8

Rumus suku ke-n diperoleh :
⇒ Un = Sn' - ½Sn''
⇒ Un = 8n + 3 - ½(8)
⇒ Un = 8n + 3 - 4
⇒ Un = 8n - 1

Jadi, rumus suku ke-n deret tersebut ialah Un = 8n - 1.

Jawaban : A

Advertisement